Контрольная работа №5 – «Делимость натуральных чисел».

1. а) Какие из чисел: 207, 321, 53, 954 – делятся на 3?

    б) Какие из чисел: 120, 348, 554, 255 – делятся на 5?

 

2. Разложите на простые множители число 750.

 

3. Найдите: а) НОД (48,36); б) НОК (48,36).

 

4. Некто записал пятизначное число, делящееся на 9. Переставил несколько цифр и получил новое число. Делится ли это новое число на 9? Почему?

 

5. Может ли число 2 · а + 2 · b, где а и b – некоторые натуральные числа, быть простым? Почему?

 

6. Какую цифру можно поставить вместо звездочки, чтобы число 35* делилось на 2, но не делилось на 4? Рассмотрите все возможные случаи.

 

Материалы для подготовки к работе

 

Задание 1.

а) Какие из чисел: 207, 321, 53, 954 – делятся на 3?

Решение:

Запишем признак делимости на 3

Если сумма цифр числа делится на 3, то и само число делится на 3

 

207 – 2 + 0 + 7 = 9; 9 : 3 = 3, значит 207 делится на три;

 

321 – 3 + 2 + 1 = 6; 6 : 2 = 3, значит 321 делится на три;

 

53 – 5 + 3 = 8; 8 : 3 ≠, значит 53 не делится на три;

 

954 – 9 + 5 + 4 = 18; 18 : 3 = 6, значит 954 делится на три.

 

 

б) Какие из чисел: 120, 348, 554, 255 – делятся на 5?

Решение:

 

Запишем признак делимости на 5

Если число оканчивается одной из цифр 0 или 5, то оно делится на 5

 

120 – оканчивается на 0, значит делится на 5;

 

348 – не оканчивается на 0 или 5, значит не делится на 5;

 

554 – не оканчивается на 0 или 5, значит не делится на 5;

 

255 – оканчивается на 5, значит делится на 5;

 

Задание 2. Разложите на простые множители число 750.

Решение:

Для того чтобы разложить число 750, вспомним правило разложения на простые множители

Разложить данное составное число на простые множители – значит представить его в виде произведения различных его простых делителей или их степеней

 

750

375

125

25

5

1

2

3

5

5

5

750 = 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 = 2 ∙ 3 ∙ 53

 

 

Задание 3. Найдите:

а) НОД (48,36) = 12

Решение:

Для того чтобы найти НОД (48,36), вспомним что такое НОД и алгоритм нахождения НОД

Наибольший общий делитель (НОД) двух и более чисел – это самое большее натуральное число, на которое эти числа делятся без остатка

 

Алгоритм:

1.           Разложить числа на простые множители;

2.           Выявить общие делители (подчеркнуть);

3.           Записать в виде произведения общие делители и посчитать НОД.

 

48

24

12

6

3

1

2

2

2

2

3

 

48 = 22 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3

 

36 = 223 ∙ 3

 

НОД(48,36) = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12

 

 

 

 

36

18

9

3

1

2

2

3

3

 

 

 

 

б) НОК (48,36) = 144

Решение:

 

Для того чтобы найти НОК (48,36), вспомним что такое НОК и алгоритм нахождения НОК

Наименьшим общим кратным натуральных чисел a и b называют наименьшее натуральное число, делящееся нацело на каждое из чисел a и b

 

Алгоритм:

1.           Разложить числа на простые множители;

2.           Выписать делители большего числа;

3.           Добавить делители из второго числа, которые не вошли в первое.

 

 

48

24

12

6

3

1

2

2

2

2

3

 

48 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3

 

36 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3

 

НОК(48,36) = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 = 144

 

 

 

 

36

18

9

3

1

2

2

3

3

 

 

 

 

Задание 4. Некто записал пятизначное число, делящееся на 9. Переставил несколько цифр и получил новое число. Делится ли это новое число на 9? Почему?

Решение:

Запишем признак делимости на 9

Если сумма цифр числа делится на 9, то и само число делится на 9

 

Доказательство

Пятизначное число ***** делится на 9, значит сумма цифр этого числа делится на 9. Если переставить несколько цифр, то получится новое число. Новое число также будет делится на 9, т.к. согласно переместительному закону сложения, при перестановке слагаемых сумма не меняется. Соответственно, новое число делится на 9.

 

Задание 5. Может ли число 2 · а + 2 · b, где а и b – некоторые натуральные числа, быть простым? Почему?

Решение:

Число 2 · а + 2 · b, согласно распределительному закону можно записать, как 2 · (a + b). a и b натуральные числа, значит a + b ≥ 3. Получим 2 · (a + b) ≥ 6.  Есть только одно простое число которое делится на 2, это само 2. Отсюда следует, что число 2 · а + 2 · b, где а и b – некоторые натуральные числа, быть простым не может.

         Ответ: простым быть не может

 

Задание 6. Какую цифру можно поставить вместо звездочки, чтобы число 35* делилось на 2, но не делилось на 4? Рассмотрите все возможные случаи.

Решение:

 

Запишем признак делимости на 2

Если число оканчивается одной из цифр 0, 2, 4, 6, 8, то оно делится на 2

 

Запишем признак делимости на 4

Число делится на 4, если две его последние цифры – нули или образуют число, которое делится на 4

 

350, 354, 358 делятся на 2, но не делятся на 4, т.к. последние цифры этого числа (т.е. 50, 54, 58) не делятся на 4, согласно признаку делимости

         Ответ: 350, 354, 358

Назад   |   Вверх