Контрольная работа №5

 

Вариант 1

1. а) Какие из чисел: 207, 321, 53, 954 – делятся на 3?

    б) Какие из чисел: 120, 348, 554, 255 – делятся на 5?

2. Разложите на простые множители число 750.

3. Найдите: а) НОД(48, 36); б) НОК (48, 36).

4. Некто записал пятизначное число, делящееся на 9. Переставил несколько цифр и получил новое число. Делится ли это новое число на 9? Почему?

5. Может ли число 2 · а + 2 · b, где а и b – некоторые натуральные числа, быть простым? Почему?

6. Какую цифру можно поставить вместо звездочки, чтобы число 35* делилось на 2, но не делилось на 4? Рассмотрите все возможные случаи.

 

Вариант 2

1. а) Какие из чисел: 609, 333, 59, 549 – делятся на 9?

    б) Какие из чисел: 720, 478, 115, 551 – делятся на 2?

2. Разложите на простые множители число 819.

3. Найдите: а) НОД(72, 60); б) НОК(72, 60).

4. Некто записал девятизначное число, делящееся на 3. Переставил несколько цифр и получил новое число. Делится ли это новое число на 3? Почему?

5. Может ли число 3 · а + 6 · b, где а и b – некоторые натуральные числа, быть простым? Почему?

6. Какую цифру можно поставить вместо звездочки, чтобы число 951* делилось на 3, но не делилось на 9? Рассмотрите все возможные случаи.

 

Материалы для подготовки к работе

Пример 1. Какие из чисел 789, 2007, 3528 делятся на 9?

Решение. Воспользуемся признаком делимости на 9.

Так как сумма цифр 7 + 8 + 9 = 24 числа 789 не делится на 9, то число 789 не делится на 9;

так как сумма цифр 2 + 0 + 0 + 7 = 9 числа 2007 делится на 9, то число 2007 делится на 9;

так как сумма цифр 3 + 5 + 2 + 8 = 18 числа 3528 делится на 9, то число 3528 делится на 9.

Ответ: 2007, 3528.

Пример 2. Выпишем все делители числа: а) 125; б) 170.

Решение. а) Разложим число 125 на простые множители:

125 = 5 · 5 · 5 = 53.

Теперь выпишем все делители числа 125:

1, 5, 52 = 25, 53 = 125.

Разложим число 170 на простые множители:

170 = 17 · 10 = 17 · 2 · 5 = 2 · 5 · 17

Теперь выпишем все делители числа 170:

1, 2, 5, 17  2 · 5 = 10,  2 · 17 = 34,  5 · 17 = 85,  2 · 5 · 17 = 170.

Пример 3. Найдем:

а) НОК (75; 25) и НОД (75; 25);

б) НОК (200; 125) и НОД (200; 125).

Решение. а) НОК (75; 25) = 75, а НОД (75; 25) = 25, так как делится на 25.

                                 б) Разложим числа 200 и 125 на простые множители:

200 = 8 · 25 = 23 · 55;  125 = 5 · 25 = 53.

НОК (200; 125) = 23 · 53 = 1000 (берем все простые делители обоих чисел в наибольшей степени из встречающихся в разложениях);

НОД (200; 125) = 52 = 25 (берем только общие простые делители обоих чисел в наименьшей степени из встречающихся в разложениях).

Пример 4. Вместо звездочек поставим такие цифры, чтобы число 9*6* делилось на 6. Выпишем такие числа.

Решение. Чтобы число 9*6* делилось на 6, оно должно делиться и на 2, и на 3. Чтобы число 9*6* делилось на 2, последняя цифра должна быть или 0, или 2, или 4, или 6, или 8. Теперь в каждом из чисел 9*60, 9*62, 9*64, 9*66, 9*68 вместо звездочки напишем такую цифру, чтобы сумма цифр каждого полученного числа делилась на 3:

9060, 9360, 9660, 9960, 9162, 9462, 9762, 9264, 9564, 9864, 9066, 9366, 9666, 9966, 9168, 9468, 9768.

Пример 5. Сколько делителей имеет число 180?

Решение. I способ. Выпишем без пропусков все делители числа 180:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180.

Всего 18 делителей.

II способ. Разложим число 180 на простые множители:

180 = 22 · 32 · 5.

Запишем в первом столбце 1 и степени простого числа 2, входящие в разложение числа 180. Далее аналогично запишем во втором столбце 1 и степени простого числа 3, в третьем столбце 1 и 5:

1   1   1

2   3   5

22  32  

            Теперь видно, что все делители числа 180 получаются умножением чисел, взятых по одному из каждого столбца. Из чисел первого и второго столбца можно составить 3 · 3 = 9 произведений, для каждого из них можно добавить множителем одно из двух чисел третьего столбца, поэтому всего делителей у числа 180 ровно 3 · 3 · 2 = 18.

            Ответ: 18

            Пример 6. Разложите на простые множители число 800.

            Решение.

           

800

2

800 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 5 · 5 = 25 · 52

400

2

 

200

2

 

100

2

 

50

2

 

25

5

 

5

5

 

1

 

 

 

            Пример 7. Найти НОК чисел 72, 80 и 96.

            Решение. Разложим данные числа на множители.

72

2

 

80

2

 

96

2

 

Выпишем все простые множители числа 96 и припишем к ним недостающие множители (5 и 3) чисел 80 и 72. В результате получим

НОК (72, 80 и 96) =

= 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 5 · 3 =

= 1440

36

2

 

40

2

 

48

2

 

18

2

 

20

2

 

24

2

 

9

3

 

10

2

 

12

2

 

3

3

 

5

5

 

6

2

 

1

 

 

1

 

 

3

3

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

            Ответ: 1440

 

            Пример 8. Найдите НОД чисел: 168, 180 и 3024.

            Решение.

            I способ.

                                   168 = 2 · 2 · 2 · 3 · 7 = 23 · 31 · 71,

                                   180 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 22 · 32 · 51,

                                   3024 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 7 = 24 · 33 · 71.

 

            Выпишем наименьшие степени общих делителей 2 и 3 и перемножим их:

НОД = 22 · 31 = 12.

            II способ.

Разложим числа на простые множители и подчеркнем общие множители чисел:

1682 · 2 · 2 · 3 · 7

1802 · 2 · 3 · 3 · 5

30242 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 7

 

Общие множители чисел: 223

 

Чтобы найти НОД чисел, необходимо перемножить их общие множители:

 

НОД (168; 180; 3024) = 2 · 2 · 3 = 12

 

            Ответ: 12

 

Назад